Tấm mỏng rung động

Dạng tương tự của sợi dây rung động trong không gian 2 chiều là một tấm mỏng rung động, với cạnh của tấm được kẹp lại bất động. Phương trình Helmholtz được giải cho nhiều dạng cơ bản trong thế kỉ thứ 19: tấm mỏng hình chữ nhật bởi Siméon Denis Poisson vào năm 1829, tấm hình tam giác đều bởi Gabriel Lamé vào năm 1852, và tấm mỏng hình tròn bởi Alfred Clebsch vào năm 1862. Hình mặt trống bầu dục được nghiên cứu bởi Emile Mathieu, dẫn đến phương trình vi phân Mathieu. Các hình dạng giải được đều tương ứng với những hình dạng mà bảng billiard động là tích phân được, nghĩa là không hỗn loạn.

Nếu miền là một hình tròn đường kính a, thường người ta đổi sang tọa độ cực r và θ. Phương trình Helmholtz bây giờ có dạng

A r r + 1 r A r + 1 r 2 A θ θ + k 2 A = 0. {\displaystyle A_{rr}+{\frac {1}{r}}A_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}A_{\theta \theta }+k^{2}A=0.}

Chúng ta có thể giả sử điều kiện biên là A biến mất nếu r=a; do vậy

A ( a , θ ) = 0. {\displaystyle A(a,\theta )=0.\,}

Phương pháp phân tích biến dẫn đến nghiệm thử có dạng

A ( r , θ ) = R ( r ) Θ ( θ ) , {\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),\,}

với Θ phải tuần hoàn với chu kì 2π. Điều này dẫn tới

Θ ″ + n 2 Θ = 0 , {\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,\,}

và

r 2 R ″ + r R ′ + r 2 k 2 R − n 2 R = 0. {\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.\,}

Do điều kiện tuần hoàn nên ta có

Θ = α cos ⁡ n θ + β sin ⁡ n θ , {\displaystyle \Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,\,}

và rằng n phải là một số nguyên. Phần theo bán kính R có dạng

R ( r ) = γ J n ( ρ ) , {\displaystyle R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),\,}

với hàm số Bessel Jn(ρ) thỏa mãn phương trình Bessel

ρ 2 J n ″ + ρ J n ′ + ( ρ 2 − n 2 ) J n = 0 , {\displaystyle \rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,}

và ρ=kr. Hàm số theo bán kính Jn có vô số nghiệm với mỗi giá trị của n, ký hiệu bởi ρm,n. Điều kiện biên rằng A bằng 0 với r=a sẽ được thỏa mãn nếu như chu kì tương ứng được cho bởi

k m , n = 1 a ρ m , n . {\displaystyle k_{m,n}={\frac {1}{a}}\rho _{m,n}.\,}

Nghiệm tổng quát A sau đó sẽ là chuỗi kép vô hạn của các hạng tử với tích của các

sin ⁡ ( n θ ) or cos ⁡ ( n θ ) , and J n ( k m , n r ) . {\displaystyle \sin(n\theta )\,{\hbox{or}}\,\cos(n\theta ),\,{\hbox{and}}\,J_{n}(k_{m,n}r).}

Những nghiệm này là những tần số rung động của một mặt trống hình tròn.

Nghiệm trong không gian 3 chiều

Trong tọa độ cầu, nghiệm của phương trình là:

A ( r , θ , ϕ ) = ∑ k ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( a l m j l ( k r ) + b l m n l ( k r ) ) Y l m ( θ , ϕ ) . {\displaystyle A(r,\theta ,\phi )=\sum _{k}\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}(a_{lm}j_{l}(kr)+b_{lm}n_{l}(kr))Y_{l}^{m}({\theta ,\phi }).}

Nghiệm này thường gặp trong các nghiệm theo biến không gian của phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt. Ở đây j l ( k r ) {\displaystyle j_{l}(kr)} và n l ( k r ) {\displaystyle n_{l}(kr)} là những hàm số cầu Bessel, và

Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{l}^{m}({\theta ,\phi })}

là những hàm cầu điều hòa (Abramowitz và Stegun, 1964). Chú ý là những dạng này là những nghiệm tổng quát, và cần những điều kiện biên để sử dụng ở các trường hợp cụ thể. Với những miền bên ngoài kéo ra vô hạn, một điều kiện phát xạ có thể là cần thiết (Sommerfeld, 1949).